10814. На сторонах BC
и AC
треугольника ABC
отмечены точки A_{1}
и B_{1}
соответственно. Отрезки AA_{1}
и BB_{1}
пересекаются в точке D
. Известно, что расстояния от точек A_{1}
, B_{1}
, C
и D
до прямой AB
равны a_{1}
, b_{1}
, c
и d
соответственно. Докажите, что \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{b_{1}}=\frac{1}{c}+\frac{1}{d}
.
Решение. Через вершину C
проведём прямую, параллельную AB
, и продолжим отрезки AA_{1}
и BB_{1}
до пересечения с этой прямой в точках P
и Q
соответственно. Треугольник PA_{1}C
подобен треугольнику AA_{1}B
, причём коэффициент подобия равен отношению высот этих треугольников, проведённых из общей вершины A_{1}
, т. е. \frac{c-a_{1}}{a_{1}}
. Значит, CP=AB\cdot\frac{c-a_{1}}{a_{1}}
. Аналогично,
CQ=AB\cdot\frac{c-b_{1}}{b_{1}}~\mbox{и}~PQ=AB\cdot\frac{c-d}{d}.
Тогда, так как CP+CQ=PQ
, то
AB\cdot\frac{c-a_{1}}{a_{1}}+AB\cdot\frac{c-b_{1}}{b_{1}}=AB\cdot\frac{c-d}{d}~\Rightarrow
~\Rightarrow~\frac{c-a_{1}}{a_{1}}+\frac{c-b_{1}}{b_{1}}=\frac{c-d}{d}~\Rightarrow
~\Rightarrow~\frac{c}{a_{1}}+\frac{c}{b_{1}}=1+\frac{c}{d}~\Rightarrow~\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{b_{1}}=\frac{1}{c}+\frac{1}{d},