10816. На сторонах AB
, BC
, CD
и AD
параллелограмма ABCD
отметили соответственно точки M
, N
, K
и F
так, что MK\parallel BC
и NF\parallel AB
. Отрезки MK
и NF
пересекаются в точке Q
. Площади параллелограммов MBNQ
, NCKQ
и KDFQ
равны соответственно 3, 4 и 5. Найдите площадь параллелограмма FAMQ
.
Ответ. \frac{15}{4}
.
Решение. Рассмотрим выпуклый четырёхугольник MNKF
. Его диагонали пересекаются в точке Q
, поэтому S_{\triangle MQN}\cdot S_{\triangle FQK}=S_{\triangle KQN}\cdot S_{\triangle FQM}
(см. задачу 4191), а так как площади этих треугольников вдвое меньше площадей параллелограммов соответственно MBNQ
, FDKQ
, NCKQ
и FAMQ
, то
S_{FAMQ}=2S_{\triangle FQM}=2\cdot\frac{S_{\triangle MQN}\cdot S_{\triangle FQK}}{S_{\triangle KQN}}=2\cdot\frac{\left(\frac{1}{2}\cdot3\right)\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot5\right)}{\frac{1}{2}\cdot4}=\frac{15}{4}.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 25.49, с. 184