10818. Вписанная окружность треугольника ABC
касается его сторон BC
и AC
в точках D
и E
соответственно. Докажите, что если AD=BE
, то треугольник ABC
равнобедренный.
Решение. Обозначим \angle CAD=\alpha
, \angle CBE=\beta
и \angle ACB=\gamma
. В треугольниках ACD
и BCE
с общим углом при вершине C
известно, что CD=CE
и AD=BE
. По теореме синусов
\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}=\frac{CD}{AD}=\frac{CE}{BE}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma},
откуда \sin\alpha=\sin\beta
.
Поскольку CD=CE\lt AC
, угол CAD
острый, т. е. \alpha\lt90^{\circ}
. Аналогично, \beta\lt90^{\circ}
, значит, из равенства \sin\alpha=\sin\beta
получаем, что \alpha=\beta
. Тогда
\angle ADC=180^{\circ}-\alpha-\gamma=180^{\circ}-\beta-\gamma=\angle BEC,
и треугольники ACD
и BCE
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AC=BC
, т. е. треугольник ABC
равнобедренный. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1987, № 7, задача 1133 (1986, с. 78), с. 225; 2010, № 6, задача 2 (2009, с. 281), с. 382
Источник: Австрийские математические олимпиады. —