10820. Высота BK
ромба ABCD
, проведённая к стороне AD
, пересекает диагональ AC
в точке M
. Найдите MD
, если известно, что BK=4
, AK:KD=1:2
.
Ответ. 3.
Решение. Положим AK=x
, KD=2x
. Тогда AB=BC=AD=3x
. По теореме Пифагора
AB^{2}=AK^{2}+BK^{2},~\mbox{или}~9x^{2}=x^{2}+16,
откуда x^{2}=2
.
Треугольник AMK
подобен треугольнику CMB
с коэффициентом \frac{AK}{BC}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}
, поэтому
MK=\frac{1}{4}BK=\frac{1}{4}\cdot4=1.
Следовательно,
MD=\sqrt{KD^{2}+MK^{2}}=\sqrt{4x^{2}+1}=\sqrt{4\cdot2+1}=3.