10823. В треугольнике ABC
известно, что AB=8
, BC=12
и AC=16
. На стороне AC
отметили такую точку D
, что CD=9
. Найдите BD
.
Ответ. 6.
Решение. Первый способ. По теореме косинусов
\cos\angle BAC=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{64+256-144}{2\cdot8\cdot16}=\frac{11}{16}.
Следовательно,
BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}-2AB\cdot AD\cos\angle BAC}=\sqrt{64+49-2\cdot8\cdot7\cdot\frac{11}{16}}=6.
Второй способ. По теореме Стюарта (см. задачу 2663)
AB^{2}\cdot CD+BC^{2}\cdot AD-BD^{2}\cdot AC=AC\cdot AD\cdot CD,
или
64\cdot9+144\cdot7-BD^{2}\cdot16=16\cdot7\cdot9.
Значит,
BD^{2}=\frac{64\cdot9+144\cdot7-16\cdot7\cdot9}{16}=36.
Следовательно, BD=6
.
Третий способ. Треугольник BDC
подобен треугольнику ABC
, так как
\frac{CD}{BC}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}=\frac{12}{16}=\frac{BC}{AC},
а угол при вершине C
— общий. Значит, \frac{BD}{AB}=\frac{BC}{AC}
. Следовательно,
BD=\frac{BC\cdot AB}{AC}=\frac{12\cdot8}{16}=6.