10824. Докажите, что если в трапеции диагонали перпендикулярны, то сумма квадратов диагоналей равна квадрату суммы оснований.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
перпендикулярны и пересекаются в точке O
. Через вершину C
проведём прямую, параллельную диагонали BD
. Пусть эта прямая пересекается с прямой AD
в точке P
. Тогда BCPD
— параллелограмм, поэтому
CP=BD,~DP=BC,~AP=AD+DP=AD+BC,
а так как
\angle ACP=\angle OCD=90^{\circ},
то треугольник ACP
прямоугольный. Следовательно,
AC^{2}+BD^{2}=AC^{2}+CP^{2}=AP^{2}=(AD+BC)^{2}.