10828. Постройте треугольник по стороне, проведённой к ней высоте и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.
Решение. Предположим, искомый треугольник ABC
построен, BC=a
— данная его сторона, AA_{1}=h_{a}
— данная высота, BB_{1}=m_{b}
— данная медиана. Из точки B_{1}
опустим перпендикуляр B_{1}M
на прямую BC
. Тогда B_{1}M
— средняя линия прямоугольного треугольника CAA_{1}
, поэтому AA_{1}=2B_{1}M
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим прямоугольный треугольник BB_{1}M
по гипотенузе BB_{1}=m_{b}
и катету B_{1}M=\frac{h_{a}}{2}
. На луче BM
откладываем отрезок BC=a
. На продолжении отрезка CB_{1}
за точку B_{1}
откладываем отрезок B_{1}A=CB_{1}
. Тогда ABC
— искомый треугольник.
Действительно, по построению BC=a
— его сторона, BB_{1}=m_{b}
—медиана, AA_{1}=2B_{1}M=h_{a}
— его высота.
Задача имеет решение, если возможно построение прямоугольного треугольника по гипотенузе, равной m_{b}
, и катету, равному \frac{h_{a}}{2}
, т. е. если h_{a}\lt2m_{b}
.