10845. Четырёхугольник ABCD
описан около окружности с центром I
. На отрезках AI
и IC
выбраны точки соответственно M
и N
так, что \angle MBN=\frac{1}{2}\angle ABC
. Докажите, что \angle MDN=\frac{1}{2}\angle ADC
.
Решение. Первый способ. Заметим, что равенство \angle MBN=\frac{1}{2}\angle ABC
равносильно равенству \angle MBN=\angle ABM+\angle CBN
.
Впишем в угол BAD
окружность \omega_{a}
с центром в M
(рис. 1), а в угол BCD
— окружность \omega_{c}
с центром в N
(ясно, что окружности \omega_{a}
и \omega_{c}
лежат внутри четырёхугольника ABCD
).
Через точку B
проведём лучи BP
и BP'
, являющиеся вторыми касательными к окружностям \omega_{a}
и \omega_{c}
. Поскольку \angle MBP=\angle MBA
и \angle NBP'=\angle NBC
, равенство \angle MBN=\angle\frac{1}{2}ABC
эквивалентно равенству
\angle MBN=\angle MBP+\angle NBP',
т. е. совпадению BP
и BP'
. Итак, равенство \angle MBN=\frac{1}{2}\angle ABC
означает, что точка B
лежит на одной из общих (внутренних) касательных к окружностям \omega_{a}
и \omega_{c}
.
Тогда точка D
лежит на второй общей внутренней касательной этих окружностей (см. задачу 10844). Следовательно,
\angle MDN=\angle MDQ+\angle NDQ=\frac{1}{2}\angle ADQ+\frac{1}{2}\angle CDQ=
=\frac{1}{2}(\angle ADQ+\angle CDQ)=\frac{1}{2}\angle ADC.
Что и требовалось доказать.
Второй способ (О.Поройкова, ученица 11 кл.). Очевидно, AI
и CI
— биссектрисы углов BAD
и BCD
соответственно. Пусть для определённости AB\geqslant BC
. Рассмотрим поворот треугольника BCN
вокруг точки B
, переводящий его в треугольник BC'N'
, где точка C'
лежит на луче BA
. Также рассмотрим поворот треугольника DCN
вокруг точки D
, переводящий его в треугольник DC''N''
, где C''
лежит на луче DA
. Имеем
BN=BN',~\angle MBN=\frac{1}{2}\angle ABC=\angle ABM+\angle CBN=
=\angle ABM+\angle C'BN'=\angle MBN'.
Отсюда следует, что треугольники MBN
и MBN'
равны, значит, MN=MN'
.
Поскольку в описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны,
AC'=AB-BC'=AB-BC=AD-AD-DC''=DC=AC'',
поэтому точки C'
и C''
симметричны относительно биссектрисы AM
угла BAD
. Далее,
C'N'=CN=C''N'',~\angle BC'N'=\angle BCN=\angle DCN=\angle DC''N'',
значит, точки N'
и N''
также симметричны относительно AM
. Отсюда MN'=MN''
.
Таким образом, мы получили, что MN=MN''
, следовательно, треугольники DMN
и DMN''
равны по трём сторонам. Отсюда
\angle MDN=\angle MDN''=\angle ADM+\angle C''DN''=
=\angle ADM+\angle CDN=\angle ADC-\angle MDN,
т. е. \angle MDN=\frac{1}{2}\angle ADC
, что и требовалось.
Примечание. 1. Вычислительное решение можно получить, применив многократно теорему синусов к треугольникам ABM
, MBI
и т. д.
2. См. также статью Н.Белухова и П.Кожевникова «Описанные четырёхугольники и ломаные», Квант, 2010, N1, с.45-49.