10861. Дан параллелограмм ABCD
. Расстояния от центра O
окружности, вписанной в треугольник ABC
, до точки A
и прямых AD
и AC
равны соответственно 10, 8 и 6. Найдите площадь параллелограмма ABCD
.
Ответ. 672
.
Решение. Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на прямую AD
, L
и N
— точки касания окружности с прямыми AC
и AB
соответственно, причём точка H
лежит на луче AD
(рис. 1). Из прямоугольного треугольника AOH
находим, что AH=6
. Прямоугольные треугольники AOL
и OAH
равны, поэтому
\angle BAO=\angle LAO=\angle AOH.
Значит, AB\parallel OH
, а так как OH\perp AD
, то AB\perp AD
. Следовательно, ABCD
— прямоугольник.
Пусть M
— точка касания окружности с прямой BC
. Тогда
AB=MH=OM+OH=OL+OH=6+8=14.
Обозначим CM=CL=x
. В прямоугольном треугольнике ABC
известно, что
AB=14,~BC=BM+CM=6+x,~AC=AL+CL=8+x.
По теореме Пифагора 14^{2}+(6+x)^{2}=(8+x)^{2}
, откуда находим, что x=42
. Значит, BC=6+x=48
. Следовательно,
S_{ABCD}=BC\cdot AB=48\cdot14=672.
Если же точка H
лежит на продолжении стороны AD
за точку A
(рис. 2), то аналогично получим, что AC\parallel OH
и AC\perp AD
. Значит, площадь параллелограмма ABCD
равна удвоенной площади прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом при вершине A
и высотой, равной
MH=OM+OH=OL+OH=6+8=14.
Обозначим BM=BN=y
. В прямоугольном треугольнике ABC
известно, что
AC=MH=14,~BC=BM+CM=y+6,~AB=BN+AN=y+8.
По теореме Пифагора 14^{2}+(6+y)^{2}=(8+y)^{2}
, откуда находим, что y=42
. Значит, BC=6+y=48
. Следовательно,
S_{ABCD}=BC\cdot MH=48\cdot14=672.