10864. Про трапецию ABCD
с основаниями AD
и BC
известно, что AB=BD
. Пусть точка M
— середина боковой стороны CD
, а O
— точка пересечения отрезков AC
и BM
. Докажите, что треугольник BOC
равнобедренный.
Решение. На луче BM
за точку M
отметим точку E
так, что ME=MB
. Заметим, что BCED
— параллелограмм, так как диагонали этого четырёхугольника в точке пересечения делятся пополам. Тогда DE\parallel BC
, откуда следует, что точка E
лежит на прямой AD
.
Поскольку AB=BD=CE
, четырёхугольник ABCE
— равнобедренная трапеция. Её углы ABC
и BCE
равны, поэтому треугольники ABC
и ECB
равны по двум сторонам (AB=EC
, BC=CB
) и углу между ними. Тогда равны и их соответственные углы BCA
и CBE
, откуда следует требуемое.
Автор: Попов Л. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2019, LXXXII, 8 класс