10888. На полосу наложили квадрат, сторона которого равна ширине полосы, причём его граница пересекает границы полосы в четырёх точках. Докажите, что две прямые, проходящие крест-накрест через эти точки, пересекаются под углом 45^{\circ}
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть l
и m
— параллельные прямые, расстояние между которыми равно стороне квадрата XYZT
, стороны XT
и ZT
пересекают прямую m
в точках A
и B
соответственно, стороны XY
и YZ
пересекают прямую l
в точках C
и D
соответственно, отрезки BD
и AC
пересекаются в точке Q
, M
и N
— проекции точки B
на прямые m
и l
соответственно.
Обозначим \angle ADQ=\alpha
и \angle DAQ=\beta
. Прямоугольные треугольники BMD
и BND
равны по катету (BM=XT=BN
) и общей гипотенузе BD
. Значит,
\angle BDZ=\angle BDN=\angle BDM=\alpha.
Аналогично \angle CAX=\beta
.
Сумма углов пятиугольника AXYZD
равна 180^{\circ}\cdot(5-2)=540^{\circ}
. С другой стороны, эта сумма равна
2\alpha+2\beta+3\cdot90^{\circ}=2(\alpha+\beta)+270^{\circ}.
Из равенства 2(\alpha+\beta)+270^{\circ}=540^{\circ}
находим, что \alpha+\beta=135^{\circ}
. Следовательно,
\angle AQD=180^{\circ}-(\alpha+\beta)=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}.
Примечание. См. статью А.Блинкова и Ю.Блинкова «Угол в квадрате», Квант, 2014, N4, с.34-37.