10889. В прямоугольном треугольнике ABC
на катетах AB
и BC
взяты соответственно точки M
и N
так, что AM=CB
и MB=CN
. Докажите, что угол между отрезками AN
и CM
равен 45^{\circ}
.
Решение. Достроим прямоугольный треугольник ABC
до прямоугольника ABCD
и через вершину D
проведём прямую, параллельную CM
. Пусть эта прямая пересекает сторону CD
прямоугольника в точке E
.
Прямоугольные треугольники ADE
и ECN
равны по двум катетам (AD=BC=AM=CE
и DE=BM=CN
), поэтому
AE=NE~\mbox{и}~\angle AED=\angle ENC=90^{\circ}-\angle NEC.
Значит,
\angle AED+\angle NEC=90^{\circ},
поэтому
\angle AEN=180^{\circ}-(\angle ABD-\angle CEN)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ},
т. е. треугольник ABN
прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, \angle EAN=45^{\circ}
, а так как CM\parallel AE
, то угол между отрезками AN
и CM
тоже равен 45^{\circ}
.
Примечание. См. статью А.Блинкова и Ю.Блинкова «Угол в квадрате», Квант, 2014, N4, с.34-37.