10895. На сторонах BC
и CD
квадрата ABCD
отмечены точки E
и F
соответственно. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точки A
на EF
, из точки B
на AE
и из точки D
на AF
, пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть X
— точка пересечения перпендикуляров, опущенных из A
на EF
и из B
на AE
. Из точек B
и P
отрезок AE
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AE
. Вписанные в эту окружность углы AEB
и APB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle APB=\angle AEB=\angle ABX.
Треугольники ABP
и AXB
подобны по двум углам (угол при вершине A
— общий), поэтому \frac{AB}{AX}=\frac{AP}{AB}
, откуда AX=\frac{AB^{2}}{AP}
.
Пусть Y
— точка пересечения перпендикуляров, опущенных из A
на EF
и из D
на AP
. Из точек D
и P
отрезок AF
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AF
. Вписанные в эту окружность углы APD
и AFD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle APD=\angle AFD=\angle ABP=\angle ADY.
Треугольники APD
и AYD
подобны по двум углам (угол при вершине A
— общий), поэтому \frac{AD}{AY}=\frac{AP}{AD}
, или \frac{AB}{AY}=\frac{AP}{AB}
, откуда AY=\frac{AB^{2}}{AP}=AX
. Значит, точки X
и Y
совпадают. Отсюда следует доказываемое утверждение.
Автор: Гаркавый А. А.
Источник: Летний турнир им. А. П. Савина «Математика 6—8». — 2014, XX, № 8
Источник: Журнал «Квант». — 2015, № 1, с. 31