10896. На сторонах выпуклого четырёхугольника построены правильные треугольники во внутреннюю сторону. Оказалось, что треугольники, построенные на одной паре противоположных сторон, имеют общую вершину. Докажите, что треугольники, построенные на другой паре противоположных сторон, имеют общий центр.
Решение. Пусть ABCD
— исходный четырёхугольник, правильные треугольники, построенные на сторонах AB
и CD
, имеют общую вершину M
, а N
— центр правильного треугольника, построенного на стороне BC
. При повороте на 60^{\circ}
вокруг точки M
, переводящем точку A
в B
, точка C
перейдёт в D
. Следовательно, диагонали четырёхугольника ABCD
равны и угол между ними равен 60^{\circ}
. Значит, при повороте на 120^{\circ}
вокруг точки N
точка B
перейдёт в C
, а луч BD
станет сонаправленным лучу CA
. Из этого и из равенства диагоналей следует, что точка D
перейдёт в A
, поэтому ND=NA
и \angle DNA=120^{\circ}
. Значит, точка N
— центр правильного треугольника, построенного на стороне DA
.