10897. Окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD
, касается его сторон AB
, BC
, CD
и DA
в точках P
, Q
, R
и S
соответственно. Найдите площадь четырёхугольника, если AP=1
, BQ=2
, CR=2
и DS=4
.
Ответ. 18.
Решение. Решим задачу в общем виде. Пусть AP=AS=a
, BQ=BP=b
, CR=CQ=c
и DS=DR=d
. Обозначим \angle AOB=\theta_{1}
и \angle BOC=\theta_{2}
.
Пусть O
— центр окружности, r
— её радиус, p=a+b+c+d
— полупериметр четырёхугольника. Из прямоугольных треугольников APO
и BPO
находим, что
\tg\angle AOP=\frac{AP}{OP}=\frac{a}{r},~\tg\angle BOP=\frac{BP}{OP}=\frac{b}{r}.
Тогда
\tg\theta_{1}=\tg(\angle AOP+\angle BOP)=\frac{\frac{a}{r}+\frac{b}{r}}{1-\frac{a}{r}\cdot\frac{b}{r}}=\frac{(a+b)r}{r^{2}-ab}.
Аналогично,
\tg\theta_{2}=\frac{(c+d)r}{r^{2}-cd},
а так как
\angle AOP=\angle AOS,~\angle BOP=\angle BOQ,~\angle DOR=\angle DOS,~\angle COR=\angle COQ,
то
\theta_{1}+\theta_{2}=\frac{1}{2}\cdot360^{\circ}=180^{\circ}~\Rightarrow~\tg\theta_{1}+\theta_{2}=0~\Rightarrow~
~\Rightarrow~\frac{(a+b)r}{r^{2}-ab}=\frac{(c+d)r}{r^{2}-cd}~\Rightarrow~r^{2}=\frac{abc+bdc+cda+dab}{a+b+c+d}.
Следовательно,
S_{ABCD}=pr=(a+b+c+d)\cdot\sqrt{\frac{abc+bdc+cda+dab}{a+b+c+d}}=
=\sqrt{(a+b+c+d)(abc+bdc+cda+dab)}.
В нашем случае
S_{ABCD}=\sqrt{(1+2+2+4)(4+16+8+8)}=18.