10898. Пусть K
и L
— середины сторон BC
и DA
выпуклого четырёхугольника ABCD
. Докажите, что утроенная площадь четырёхугольника ABKL
больше площади четырёхугольника DCKL
.
Решение. Сумма углов четырёхугольника ABCD
равна 360^{\circ}
. Пусть сумма углов A
и D
не меньше 180^{\circ}
(иначе сумма углов B
и C
не меньше 180^{\circ}
, и этот случай разбирается аналогично).
Построим точку Z
, симметричную точке B
относительно L
. Тогда точка D
лежит внутри угла CBZ
. А поскольку
\angle LDC+\angle LDZ=\angle LDC+\angle BAL=\angle D+\angle A\geqslant180^{\circ},
точка D
лежит внутри треугольника BCZ
(но вне треугольника KBL
). Тогда S_{DCKL}\lt S_{ZCKL}
. Но KL
— средняя линия треугольника CBZ
, поэтому S_{\triangle KBL}=\frac{1}{3}S_{ZCKL}
. Отсюда
S_{ABKL}\gt S_{\triangle KBL}=\frac{1}{3}S_{ZCKL}\gt\frac{1}{3}S_{DCKL}.
Примечание. Отметим, что если в неравенстве S_{ABKL}\gt\frac{1}{3}S_{DCKL}
заменить число \frac{1}{3}
на большее, то для некоторых выпуклых четырёхугольников неравенство будет нарушаться.