10899. Два параллелограмма ABCD
и CEFK
имеют общую вершину C
. Известно, что BE\parallel DK
, а BE=a
и DK=b
. Найдите AF
.
Ответ. a+b
или |a-b|
.
Решение. Для параллелограммов ABCD
и CEFK
справедливы равенства
\overrightarrow{KF}=\overrightarrow{CE},~\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.
Тогда
\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DK}+\overrightarrow{KF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DK}+\overrightarrow{CE}=
=(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE})+\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DK}.
По условию DK\parallel BE
, поэтому AF\parallel DK
и AF\parallel BE
, значит, векторы \overrightarrow{DK}
и \overrightarrow{BE}
либо сонаправлены (рис. 1), либо противоположно направлены (рис. 2). В первом случае AF=BE+DK=a+b
; во втором случае AF=a-b
или AF=b-a
в зависимости от того, какой из векторов \overrightarrow{BE}
или \overrightarrow{DK}
длиннее.