10908. Через вершину A
параллелограмма ABCD
проведена прямая, пересекающая диагональ BD
, сторону CD
и прямую BC
в точках E
, F
и G
соответственно. Найдите отношение BE:ED
, если FG:FE=4
.
Ответ. \sqrt{5}
.
Решение. Через точку E
проведём прямые, параллельные сторонам CD
и AD
, пересекающие эти стороны в точках H
и K
соответственно. Обозначим
BE=x,~ED=y,~\frac{BE}{ED}=\frac{x}{y}=t,~BH=a,~EK=CH=b.
Треугольник CFG
подобен треугольнику KFE
, треугольник BEH
— треугольнику EDK
, а треугольник BEG
— треугольнику AED
, поэтому
CG=4b,~t=\frac{x}{y}=\frac{a}{b},
\frac{BE}{BG}=\frac{DE}{AD},~\mbox{или}~\frac{x}{a+5b}=\frac{y}{a+b}.
Тогда
t=\frac{x}{y}=\frac{a+5b}{a+b}=\frac{\frac{a+5b}{b}}{\frac{a+b}{b}}=\frac{t+5}{t+1}~\Leftrightarrow~t^{2}+t=t+5~\Leftrightarrow~t^{2}=5.
Следовательно, \frac{BE}{ED}=t=\sqrt{5}
.
Источник: Журнал «Квант». — 2018, № 11, с. 54
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2018, отборочный этап, первый тур, № 4