10913. На сторонах AB
и AC
треугольника ABC
нашлись точки D
и E
соответственно такие, что DB=BC=CE
. Отрезки BE
и CD
пересекаются в точке P
. Докажите, что окружности, описанные около треугольников BDP
и CEP
, пересекаются в центре окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Решение. Обозначим через I
центр вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
. Докажем, что точки B
, D
, P
, I
лежат на одной окружности. Аналогично покажем, что точки C
, E
, P
, I
лежат на одной окружности, и задача будет решена. Таким образом, достаточно установить равенство \angle BPD=\angle BID
.
Биссектриса BI
угла ABC
является осью симметрии равнобедренного треугольника BDC
, поэтому
\angle BID=\angle BIC=180^{\circ}-\angle IBC-\angle ICB=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B-\frac{1}{2}\angle C.
Далее,
\angle BPD=\angle PBC+\angle PCB=\angle EBC+\angle DCB.
Из равнобедренности треугольника BCE
получаем, что
\angle EBC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle C)
и, аналогично,
\angle DCB=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B.
Отсюда
\angle BPD=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B-\frac{1}{2}\angle C=\angle BID.
Что и требовалось доказать.
Автор: Женодаров Р. Г.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2018-2019, XLV, региональный тур, № 8, 11 класс