10915. В параллелограмме ABCD
угол A
острый. На стороне AB
отмечена такая точка N
, что CN=AB
. Оказалось, что описанная окружность треугольника CBN
касается прямой AD
. Докажите, что она касается её в точке D
.
Решение. Пусть окружность касается прямой AD
в точке T
. Поскольку диаметр окружности, проведённый в точку касания T
, перпендикулярен хорде BC
, параллельной касательной, то треугольник CBT
равнобедренный, BT=CT
. Из равенства вписанных углов NBT
и NCT
получаем равенство треугольников ABT
и NCT
(по двум сторонам и углу между ними), а так как вписанные углы TNC
и TBC
тоже равны, то
\angle TAB=\angle TNC=\angle TBC=\angle TCB.
Значит, ABCT
— параллелограмм, т. е. точка T
совпадает с D
.