10917. Равнобокая трапеция ABCD
с основаниями AD
и BC
вписана в окружность с центром O
. Прямая BO
пересекает отрезок AD
в точке E
. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, описанных около треугольников ABE
и DBE
соответственно. Докажите, что точки O_{1}
, O_{2}
, O
и C
лежат на одной окружности.
Решение. Нетрудно понять, что AD
— большее основание, треугольники ABD
и ABE
остроугольные, а точки B
, C
и O_{2}
лежат по одну сторону от прямой OO_{1}
. Прямые OO_{1}
, O_{1}O_{2}
и OO_{2}
— серединные перпендикуляры к AB
, BE
и BD
соответственно.
Пусть K
— середина AB
(тогда K
лежит на прямой OO_{1}
), P
— середина BE
, Q
— середина BD
. Поскольку BO_{1}E
— центральный угол описанной окружности остроугольного треугольника ABE
, а BAE
— вписанный, то
\angle BO_{1}O_{2}=\angle BO_{1}P=\frac{1}{2}\angle BO_{1}E=\angle BAE=\angle BAD.
Аналогично, BOD
— центральный угол описанной окружности остроугольного треугольника ABD
(т. е. окружности, описанной около трапеции ABCD
), а BAD
— вписанный, то
\angle BAO_{2}=\angle BOQ=\frac{1}{2}\angle BOD=\angle BAD.
Значит, \angle BO_{1}O_{2}=\angle BAO_{2}
. Следовательно, четырёхугольник OO_{1}BO_{2}
вписанный, а так как
\angle KO_{1}B=\angle AEB=\angle CBE=\angle CBO=\angle BCO,
то четырёхугольник OO_{1}BC
тоже вписанный. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, следовательно, точки O
, O_{1}
, B
, C
, O_{2}
лежат на одной окружности.