10919. В треугольнике ABC
провели биссектрису CL
. Серединный перпендикуляр к стороне AC
пересекает отрезок CL
в точке K
. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC
и AKL
касаются.
Решение. Точка K
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC
, значит, треугольник AKC
равнобедренный, поэтому \angle KAC=\angle KCA
.
Проведём в общей точке A
этих окружностей касательные l
и m
соответственно. Угол между касательной l
и хордой AB
равен углу C
. Угол между касательной m
и хордой AL
равен
\angle AKL=\angle KAC+\angle KCA=2\angle KCA=\angle C.
Следовательно, прямые l
и m
совпадают. Что и требовалось доказать.