10923. Две окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются внешним образом в точке T
. К ним проведена общая внешняя касательная, касающаяся первой окружности в точке A
, а второй — в точке B
. Общая касательная к окружностям, проведённая в точке T
, пересекает прямую AB
в точке M
. Пусть AC
— диаметр первой окружности. Докажите, что отрезки CM
и AO_{2}
перпендикулярны.
Решение. Первый способ. Обозначим через X
точку пересечения отрезка AO_{2}
с первой окружностью. Тогда \angle AXC=90^{\circ}
. Достаточно доказать, что точки C
, X
и M
лежат на одной прямой, т. е. что \angle MXO_{2}=90^{\circ}
.
Точки C
, T
и B
лежат на одной прямой, поскольку \angle CTA=\angle ATB=90^{\circ}
(MA=MT=MB
). Пусть продолжение отрезка AT
пересекает вторую окружность в точке D
. Тогда BD
— диаметр второй окружности (так как \angle BTD=90^{\circ}
). Прямые AC
и BO_{2}
параллельны, так как обе они перпендикулярны прямой AB
, значит, \angle TCA=\angle TBO_{2}
. Из вписанного четырёхугольника AXTC
получаем, что
\angle TCA=180^{\circ}-\angle AXT=\angle TXO_{2}.
Тогда четырёхугольник TXBO_{2}
тоже вписанный (точки X
и B
лежат по одну сторону от прямой TO_{2}
). На этой же окружности лежат и точка M
, так как \angle MTO_{2}=\angle MBO_{2}=90^{\circ}
, т.е MO_{2}
— диаметр этой окружности. Следовательно, \angle MXO_{2}=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Заметим, что MO_{1}
и MO_{2}
— биссектрисы углов AMT
и BMT
. Поэтому прямоугольные треугольники AMO_{1}
и BO_{2}M
подобны. Следовательно, существует поворотная гомотетия, переводящая треугольник AMO_{1}
в треугольник BO_{2}M
. Поскольку O_{1}
— середина AC
, а M
— середина AB
, то C
перейдёт в A
. Значит, отрезок CM
переходит в отрезок AO_{2}
, и угол между ними равен углу поворота, т. е. 90^{\circ}
.