10931. В треугольнике ABC
проведена медиана AM
, точка O
— центр описанной около него окружности, точка Q
— центр вписанной в него окружности. Отрезки AM
и OQ
пересекаются в точке S
, при этом 2\frac{OS}{MS}=3\sqrt{3}\frac{QS}{AS}
. Найдите сумму синусов величин углов ABC
и ACB
, если известно, что \angle BAC=\frac{\pi}{3}
.
Ответ. \frac{9}{8}
.
Решение. Точка Q
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
. Проведём биссектрису угла BAC
, точку её пересечения с описанной около треугольника ABC
окружностью обозначим буквой L
, соединим точки C
и Q
.
Серединный перпендикуляр к стороне BC
треугольника ABC
и биссектриса угла A
пересекаются в точке L
, лежащей на описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 1743).
Применяя теорему Менелая к треугольнику AML
и прямой SQ
, а также к треугольнику LOM
и прямой SM
, получим, что
\frac{MS}{SA}\cdot\frac{AQ}{QL}\cdot\frac{LO}{OM}=1,~\frac{QS}{SO}\cdot\frac{OM}{ML}\cdot\frac{LA}{AQ}=1.
Перемножив эти равенства, после очевидных упрощений получим, что
\frac{MS}{SA}\cdot\frac{QS}{OS}\cdot\frac{LO}{ML}\cdot\frac{LA}{QL}=1.
Из условия задачи следует, что
\frac{MS}{SA}\cdot\frac{QS}{QS}=\frac{2}{3\sqrt{3}}.
В треугольнике COL
стороны OC
и OL
равны как радиусы окружности, а \angle COL=60^{\circ}
, поэтому этот треугольник равносторонний. Его высота CM
является медианой, значит, \frac{LO}{ML}=2
. Тогда
1=\frac{MS}{SA}\cdot\frac{QS}{OS}\cdot\frac{LO}{ML}\cdot\frac{LA}{QL}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\cdot2\cdot\frac{LA}{QL}=\frac{4}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{LA}{QL},
откуда \frac{LA}{QL}=\frac{3\sqrt{3}}{4}
.
Пусть \angle ACB=2\gamma
. Тогда
\angle ALC=\angle ABC=\frac{2\pi}{3}-2\gamma,~\angle BCL=\angle BAL=\frac{\pi}{6},
\angle QCL=\angle BCL+\angle QCB=\frac{\pi}{6}+\gamma.
Значит,
\angle LQC=\pi-\angle QCL-\angle ALC=\pi-\left(\frac{\pi}{6}+\gamma\right)-\left(\frac{2\pi}{3}-2\gamma\right)=\frac{\pi}{6}+\gamma,
поэтому треугольник LQC
равнобедренный, QL=CL
.
По теореме синусов
\frac{LA}{QL}=\frac{LA}{CL}=\frac{\sin\angle ACL}{\sin\angle CAL}=\frac{\sin\left(2\gamma+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin\frac{\pi}{6}}=2\sin\left(2\gamma+\frac{\pi}{6}\right),
откуда
\sin\left(2\gamma+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{AL}{QL}=\frac{3\sqrt{3}}{8}.
Следовательно,
\sin\angle ABC+\sin\angle ACB=\sin\left(\frac{2\pi}{3}-2\gamma\right)+\sin2\gamma=
=2\sin\frac{\frac{2\pi}{3}-2\gamma+2\gamma}{2}\cos\frac{\frac{2\pi}{3}-2\gamma-2\gamma}{2}=2\sin\frac{\pi}{3}\cos\left(\frac{\pi}{3}-2\gamma\right)=
=\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}+2\gamma\right)=\sqrt{3}\sin\left(2\gamma+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{9}{8}.