10935. Даны два одинаково ориентированных квадрата ABCD
и AEFG
. Докажите, что отрезки BE
и DG
равны и перпендикулярны.
Решение. Первый способ. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Поскольку AB=AD
, AE=AG
и
\angle BAE=\angle BAG+\angle GAE=\angle BAG+90^{\circ}=\angle BAG+\angle BAD=\angle DAG,
треугольники BAE
и DAG
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BE=DG
.
Пусть отрезки BE
и DG
пересекаются в точке K
, а DG
и AB
— в точке L
. Тогда углы BLK
и ALD
равны как вертикальные, а углы KBL
и ALD
— как соответствующие углы равных треугольников BAE
и DAG
. Значит, равны и третьи углы треугольников BKL
и DAL
, т. е.
\angle BKL=\angle DAL=90^{\circ}.
Для любого другого случая расположения квадратов ABCD
и AEFG
.
Второй способ. Рассмотрим поворот вокруг точки A
на 90^{\circ}
, при котором точка B
переходит в D
. При этом повороте точка E
переходит в G
, а отрезок BE
— в отрезок DG
. Следовательно, эти отрезки равны и перпендикулярны.
Примечание. См. статью Е.Бакаева «Комбинации квадратов», Квант, 2018, N7, с.22-26.