10936. Даны два одинаково ориентированных квадрата ABCD
и AEFG
. Вершины P
и Q
третьего квадрата DEPQ
расположены по ту же сторону от прямой DE
, что и точка B
. Докажите, что середина отрезка CF
совпадает с центром квадрата DEPQ
.
Решение. Рассмотрим поворот вокруг точки D
на 90^{\circ}
, при котором точка A
переходит в C
. При этом повороте точка E
переходит в Q
, а отрезок AE
— в отрезок CF
. Значит, треугольник DAE
при этом повороте переходит в треугольник DCQ
. Следовательно, треугольник DCQ
равен треугольнику DAE
.
Аналогично, треугольник PFE
также равен треугольнику DAE
. При этом прямые DC
и PF
параллельны, так как они образуют равные углы с параллельными прямыми DQ
и PE
. Аналогично QC\parallel EF
.
При центральной симметрии относительно центра O
квадрата DEPQ
луч DC
переходит в противоположно направленный с ним луч PF
, а луч QC
— в противоположно направленный с ним луч EF
, значит, точка пересечения C
лучей DC
и QC
переходит в точку пересечения лучей PF
и EF
, т. е. в точку F
. Тогда точки C
и F
симметричны относительно точки O
. Следовательно, O
— середина отрезка CF
.
Примечание. См. статью Е.Бакаева «Комбинации квадратов», Квант, 2018, N7, с.22-26.