10942. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
угол BAD
равен 30^{\circ}
, периметр треугольника BCD
равен диагонали AC
. Найдите угол BCD
.
Ответ. 120^{\circ}
.
Решение. Пусть точки X
и Y
симметричны точке C
относительно прямых AB
и AD
соответственно. Из свойств симметрии следует, что
AX=AC=AY,~\angle BAC=\angle BAX,~\angle DAC=\angle DAY.
Значит,
\angle XAY=2\angle BAD=60^{\circ},
и треугольник XAY
равносторонний. Тогда его сторона XY
равна периметру треугольника BCD
.
Также из свойств симметрии следует, что CB=XB
и DC=DY
. Значит,
XY=CB+BD+DC=XB+BD+DY.
Следовательно, точки B
и D
лежат на отрезке XY
. Тогда
\angle ACB=\angle AXB=60^{\circ},~\angle ACD=\angle AYD=60^{\circ},
\angle BCD=\angle ACB+\angle ACD=120^{\circ}.