10952. Дана трапеция ABCD
, основания которой AD=5
, BC=3
. Через точку A
и точку M
на боковой стороне CD
проведена прямая, делящая трапецию на две равновеликие части. Найдите отношение CM:MD
.
Ответ. 1:4
.
Решение. Через точку M
перпендикулярно основаниям трапеции проведём прямую, пересекающую прямые AD
и BC
в точках P
и Q
соответственно. Тогда QP=h
— высота трапеции, а MP=h_{1}
— высота треугольника AMD
.
По условию задачи S_{\triangle AMD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}
, или \frac{1}{2}\cdot5h_{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{5+3}{2}\cdot h
, откуда находим, что \frac{h}{h_{1}}=\frac{5}{4}
. Из подобия треугольников PMD
и QMC
получаем, что
\frac{CM}{MD}=\frac{h-h_{1}}{h_{1}}=\frac{h}{h_{1}}-1=\frac{5}{4}-1=\frac{1}{4}.
Источник: Журнал «Квант». — 2015, № 3, с. 54
Источник: Международный математический турнир им. М. В. Ломоносова для учащихся 5—8 классов. — 2014, III, письменный индивидуальный тур, № 3, 7-8 классы