10955. Внутри прямоугольного треугольника построили две равные окружности так, что первая касается одного из катетов и гипотенузы, вторая касается другого катета и гипотенузы, а ещё эти окружности касаются друг друга. Пусть M
и N
— точки касания окружностей с гипотенузой. Докажите, что середина отрезка MN
лежит на биссектрисе прямого угла треугольника.
Решение. Достаточно доказать, что середина K
отрезка MN
равноудалена от катетов AC
и BC
треугольника ABC
.
Первый способ. Из равенства отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, следует, что общая касательная l
окружностей, проведённая через их точку касания, пересекает общую касательную MN
в середине K
отрезка MN
, а так как окружности равны, то l\perp MN
.
Пусть l
пересекает прямые AC
и BC
в точках P
и Q
соответственно. Прямоугольные треугольники AKP
и QKB
очевидно подобны, а так как их вписанные окружности равны, то эти треугольники равны. Значит, равны и их высоты, опущенные из общей вершины K
, т. е. расстояния от K
до прямых AC
и BC
.
Второй способ. Проведём через центры O_{1}
и O_{2}
окружностей прямые, параллельные ближайшим катетам, до пересечения в точке L
. Углы O_{1}LO_{2}
и O_{1}KO_{2}
прямые, значит, четырёхугольник O_{1}LO_{2}K
вписанный, поэтому углы O_{1}LK
и O_{2}LK
равны как опирающиеся на равные хорды. Следовательно, LK
— биссектриса угла O_{1}LO_{2}
, т. е. точка K
равноудалена от прямых O_{1}L
и O_{2}L
, а значит, и от прямых AC
и BC
(расстояние между прямыми O_{1}L
и AC
, как и расстояние между прямыми O_{2}L
и BC
, равно радиусу исходных окружностей).
Третий способ. Точка K
равноудалена от центров окружностей, значит, существует поворот с центром в точке K
, переводящий первую окружность (касающуюся катета AC
) во вторую (касающуюся катета BC
). Очевидно, что это поворот на 90^{\circ}
. При этом повороте прямая AC
переходит, во-первых, в перпендикулярную ей прямую (так как поворот на 90^{\circ}
). Во-вторых, она перейдёт в прямую, касающуюся второй окружности (так как AC
касается первой окружности). Из этих двух условий следует, что прямая AC
перейдёт в прямую BC
. Значит, эти две прямые равноудалены от центра поворота K
, и, таким образом, точка K
лежит на биссектрисе угла между этими прямыми.