1096. Признаки параллелограмма.
1) Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
2) Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
3) Если диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
4) Если противоположные углы четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Решение. 1) Пусть в четырёхугольнике
ABCD
противоположные стороны
BC
и
AD
равны и параллельны. Тогда
\angle ACB=\angle CAD
(накрест лежащие углы при параллельных прямых
AD
и
BC
и секущей
AC
). Значит, треугольники
ACB
и
CAD
равны по двум сторонам (сторона
AC
— общая) и углу между ними. Поэтому равны соответственные углы
BAC
и
ACD
. Следовательно,
AB\parallel CD
.
Противолежащие стороны четырёхугольника
ABCD
попарно параллельны, поэтому
ABCD
— параллелограмм.
2) Пусть в четырёхугольнике
ABCD
известно, что
BC=AD
и
AB=CD
. Тогда треугольники
ACB
и
CAD
равны по трём сторонам (сторона
AC
— общая), значит,
\angle ACB=\angle CAD
. Накрест лежащие углы при прямых
AD
и
BC
и секущей
AC
равны, следовательно,
AD\parallel BC
. Аналогично
AB\parallel CD
.
Противолежащие стороны четырёхугольника
ABCD
попарно параллельны, поэтому
ABCD
— параллелограмм.
3) Пусть диагонали
AC
и
BD
четырёхугольника
ABCD
пересекаются в точке
O
, и при этом
OA=OC
и
OB=OD
. Треугольники
AOD
и
COB
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому
\angle ACB=\angle OCD=\angle OAB=\angle CAB.

Накрест лежащие углы при прямых
AD
и
BC
и секущей
AC
равны, следовательно,
AD\parallel BC
. Аналогично
AB\parallel CD
.
Противолежащие стороны четырёхугольника
ABCD
попарно параллельны, поэтому
ABCD
— параллелограмм.
4) Пусть в четырёхугольнике
ABCD
известно, что
\angle BAD=\angle BCD
и
\angle ABC=\angle ADC
. Сумма углов четырёхугольника равна
360^{\circ}
, поэтому
\angle BAD+\angle ABC=180^{\circ}
.
Сумма внутренних односторонних углов при прямых
AD
,
BC
и секущей
AB
равна
180^{\circ}
, значит,
AD\parallel BC
. Аналогично
AB\parallel CD
. Следовательно,
ABCD
— параллелограмм.