1096. Признаки параллелограмма.
1) Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
2) Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
3) Если диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
4) Если противоположные углы четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Решение. 1) Пусть в четырёхугольнике ABCD
противоположные стороны BC
и AD
равны и параллельны. Тогда \angle ACB=\angle CAD
(накрест лежащие углы при параллельных прямых AD
и BC
и секущей AC
). Значит, треугольники ACB
и CAD
равны по двум сторонам (сторона AC
— общая) и углу между ними. Поэтому равны соответственные углы BAC
и ACD
. Следовательно, AB\parallel CD
.
Противолежащие стороны четырёхугольника ABCD
попарно параллельны, поэтому ABCD
— параллелограмм.
2) Пусть в четырёхугольнике ABCD
известно, что BC=AD
и AB=CD
. Тогда треугольники ACB
и CAD
равны по трём сторонам (сторона AC
— общая), значит, \angle ACB=\angle CAD
. Накрест лежащие углы при прямых AD
и BC
и секущей AC
равны, следовательно, AD\parallel BC
. Аналогично AB\parallel CD
.
Противолежащие стороны четырёхугольника ABCD
попарно параллельны, поэтому ABCD
— параллелограмм.
3) Пусть диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
, и при этом OA=OC
и OB=OD
. Треугольники AOD
и COB
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому
\angle ACB=\angle OCD=\angle OAB=\angle CAB.
Накрест лежащие углы при прямых AD
и BC
и секущей AC
равны, следовательно, AD\parallel BC
. Аналогично AB\parallel CD
.
Противолежащие стороны четырёхугольника ABCD
попарно параллельны, поэтому ABCD
— параллелограмм.
4) Пусть в четырёхугольнике ABCD
известно, что \angle BAD=\angle BCD
и \angle ABC=\angle ADC
. Сумма углов четырёхугольника равна 360^{\circ}
, поэтому \angle BAD+\angle ABC=180^{\circ}
.
Сумма внутренних односторонних углов при прямых AD
, BC
и секущей AB
равна 180^{\circ}
, значит, AD\parallel BC
. Аналогично AB\parallel CD
. Следовательно, ABCD
— параллелограмм.
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — с. 56-59