10961. В равностороннем треугольнике ABC
на сторонах AB
и BC
выбраны точки E
и F
соответственно так, что BE=CF
. Пусть O
— центр треугольника, а P
— точка пересечения AF
и CE
. Докажите, что OP
— биссектриса угла EPA
.
Решение. Отметим на стороне AC
такую точку G
, что AG=BE=CF
. При повороте вокруг точки O
на угол 120^{\circ}
треугольник ABC
перейдёт сам в себя. Треугольник с вершинами в точках попарного пересечения отрезков AF
, BG
и CE
также перейдёт сам в себя. Значит, он равносторонний, а O
— его центр. Следовательно, PO
— биссектриса угла EPA
.