10962. Дан квадрат ABCD
. Через вершину C
провели прямую m
, не имеющую других общих точек с квадратом. Точки E
и F
— проекции точек соответственно B
и D
на прямую m
. Отрезки BF
и DE
пересекаются в точке K
. Докажите, что прямая AK
перпендикулярна прямой m
.
Решение. Рассмотрим поворот против часовой стрелки на 90^{\circ}
вокруг центра O
квадрата ABCD
(см. рис.). Точка B
перейдёт в A
, D
— в C
, а прямая DF
, проходящая через точку D
перпендикулярно прямой EF
, — в прямую EF
, проходящую через точку C
. Аналогично, прямая EF
перейдёт в прямую BE
. Значит, точка F
пересечения прямых DF
и FE
перейдёт в точку E
пересечения их образов EF
и BE
, т. е. в точку E
. Таким образом, отрезок BF
перейдёт в отрезок AE
. Значит, BF\perp AE
. Аналогично докажем, что AF\perp DE
.
Прямые BF
и DE
содержат высоты треугольника AEF
, значит, K
— ортоцентр этого треугольника. Следовательно, AK\perp EF