10963. На диагонали AC
прямоугольника ABCD
выбраны такие точки E
и F
, что AE=AB
и AF=AD
. Пусть G
и H
— основания перпендикуляров, опущенных на сторону AB
из точек E
и F
соответственно. Докажите, что AG+FH=AC
.
Решение. Опустим перпендикуляр BK
на AC
. Тогда AG=AK
как катеты равных (по гипотенузе и острому углу) прямоугольных треугольников AEG
и ABK
. Кроме того, поскольку AF=AD=BC
и FH\parallel BC
, прямоугольные треугольники AFH
и BCK
тоже равны по гипотенузе и острому углу. Значит, CK=FH
. Следовательно,
AC=AK+CK=AG+FH.
Источник: Журнал «Квант». — 2014, № 1, с. 38
Источник: Уральский турнир юных математиков. — 2013, 42-й, № 8, 8 класс