10964. На сторонах AC
и AB
треугольника ABC
лежат точки D
и E
соответственно. Прямые BD
и CE
пересекаются в точке S
, M
— середина отрезка CS
. Прямая BM
пересекает отрезок CD
в точке T
. Известно, что BE=ES=1
и CD=DS=2
. Докажите, что AB=AT
.
Решение. Пусть N
— середина отрезка DC
. Тогда MN
— средняя линия треугольника CDE
, поэтому
\angle NMC=\angle DSC=\angle ESB=\angle SBE,
MN=\frac{1}{2}SD=1,~NC=\frac{1}{2}DC=1.
Таким образом, равнобедренные треугольники BES
и MNC
равны, поэтому SM=MC=SB
. Значит,
\angle SBM=\angle SMB=\angle TMC.
Тогда
\angle ABT=\angle SBE+\angle SBM=\angle TCM+\angle TMC=\angle ATB
(ATB
— внешний угол треугольника CTM
). Следовательно, AB=AT
.
Источник: Журнал «Квант». — 2014, № 1, с. 38
Источник: Уральский турнир юных математиков. — 2013, 42-й, № 9, 8 класс