10965. Точка D
лежит на стороне AC
равностороннего треугольника ABC
. Пусть F
— основание перпендикуляра, опущенного из D
на BC
, K
— основание перпендикуляра, опущенного из F
на AB
, E
— основание перпендикуляра, опущенного из K
на AC
. Точка L
— середина BC
. Прямые KE
и FD
пересекаются в точке P
. Докажите, что BP
делит AL
пополам.
Решение. Пусть N
— точка пересечения BP
и AL
. Нетрудно показать, что углы DFK
и FKE
равны 60^{\circ}
, т. е. треугольник FKP
— равносторонний. Поскольку \angle FDC=\angle LAC=30^{\circ}
, прямые AL
и DF
параллельны, значит, треугольники BNL
и BPF
подобны. Тогда
\frac{NL}{PF}=\frac{BL}{BF}~\Rightarrow~NL=\frac{BL\cdot PF}{BF}=\frac{\frac{1}{2}BC\cdot KF}{BF}=KF\cdot\frac{BC}{2BF}.
Прямоугольные треугольники ABL
и BKF
подобны, поэтому
\frac{KF}{BF}=\frac{AL}{AB}=\frac{AL}{BC}~\Rightarrow~AL=\frac{KF\cdot BC}{BF}=KF\cdot\frac{BC}{BF}.
Следовательно, NL=\frac{1}{2}AL
. Что и требовалось доказать.