10967. В треугольнике ABD
угол ABD
равен 120^{\circ}
. На стороне AD
взята такая точка C
, что AB=CD=1
и угол ABC
равен 90^{\circ}
. Найдите AC
.
Ответ. \sqrt[{3}]{{2}}
.
Решение. Пусть K
— основание перпендикуляра, опущенного из точки D
на прямую BC
. В прямоугольном треугольнике BKD
острый угол при вершине B
равен 30^{\circ}
.
Обозначим AC=x
, BD=a
. Тогда KD=\frac{1}{2}BD=\frac{a}{2}
. Из подобия прямоугольных треугольников DKC
и ABC
получаем, что \frac{DK}{AB}=\frac{CD}{AC}
, или \frac{a}{2}=\frac{1}{x}
, откуда a=\frac{2}{x}
.
По теореме косинусов
AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}-2AB\cdot BD\cos120^{\circ},~\mbox{или}~(x+1)^{2}=1+\frac{4}{x^{2}}+\frac{2}{x}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~x(x+2)=\frac{2(x+2)}x^{2},
а так как x+2\ne0
, то x^{2}=2
. Следовательно, AC=x=\sqrt[{3}]{{2}}
.