10968. На плоскости расположены две концентрические окружности. Касательная к меньшей из них пересекает большую в точках A
и B
. Докажите, что площадь круга с диаметром AB
равна площади кольца, ограниченного первыми двумя окружностями.
Решение. Пусть O
— общий центр двух первых окружностей, M
— точка касания прямой AB
с меньшей из них. Тогда OA
— радиус большей, OM
— радиус меньшей, а MA
— радиус третьей окружности. Из прямоугольного треугольника AMO
получаем, что AM^{2}=OA^{2}-OM^{2}
. Значит, площадь круга, ограниченного третьей окружностью равна
\pi AM^{2}=\pi OA^{2}-\pi OM^{2}.
Правая часть этого равенства — разность площадей кругов, ограниченных первыми двумя окружностями, т. е. площадь ограниченного ими кольца.