10969. Точка M
, лежащая внутри квадрата ABCD
, равноудалена от его вершин A
, B
и от прямой CD
. Какую часть площади квадрата составляет площадь треугольника AMB
?
Ответ. \frac{3}{16}
.
Решение. Пусть прямая, проходящая через точку M
параллельно BC
, пересекает стороны AB
и CD
в точках H
и P
соответственно. Тогда H
— середина стороны AB
, а MH
— высота равнобедренного треугольника AMB
.
Пусть сторона квадрата равна a
, а MH=h
. Тогда MA=MP=a-h
и AH=\frac{a}{2}
. По теореме Пифагора
MA^{2}=MH^{2}+AH^{2},~\mbox{или}~(a-h)^{2}=h^{2}+\frac{a^{2}}{4},
Следовательно,
\frac{S_{\triangle AMB}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{1}{2}a\cdot h}{a^{2}}=\frac{\frac{1}{2}a\cdot\frac{3}{8}a}{a^{2}}=\frac{3}{16}.