1097. Свойства параллелограмма.
1) Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
2) Противоположные углы параллелограмма попарно равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180^{\circ}
.
3) Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
Решение. 1) Пусть ABCD
— параллелограмм. Это значит, что BC\parallel AD
и AB\parallel CD
. Тогда \angle ACB=\angle CAD
и \angle BAC=\angle DCA
(накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей). Значит, треугольники ACB
и CAD
равны по стороне (сторона AC
— общая) и прилежащим к ней углам. Поэтому равны соответственные стороны: AD=BC
и AB=CD
.
2) Из равенства треугольников ACB
и CAD
следует равенство соответственных углов: \angle ABC=\angle CDA
. Равенство углов BAD
и DCB
следует из равенства треугольников BAD
и DCB
.
Поскольку ABC
и BAD
— внутренние односторонние углы при параллельных прямых AD
и BC
и секущей AB
, то \angle ABC+\angle BAD=180^{\circ}
. Аналогично \angle ABC+\angle BCD=180^{\circ}
.
3) Пусть O
— середина диагонали BD
параллелограмма ABCD
. На продолжении отрезка AO
отложим отрезок AC_{1}=AO
. Диагонали BD
и AC_{1}
четырёхугольника ABC_{1}D
пересекаются и делятся точкой пересечения O
пополам. По признаку параллелограмма этот четырёхугольник — параллелограмм. Тогда BC_{1}\parallel AD
. В то же время BC\parallel AD
, так как ABCD
— параллелограмм.
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной, поэтому точка C_{1}
лежит на прямой BC
. Аналогично докажем, что точка C_{1}
лежит на прямой DC
. Следовательно, точка C_{1}
совпадает с точкой C
пересечения прямых BC
и DC
, а параллелограмм ABCD
— с параллелограммом ABC_{1}D
, диагонали которого пересекаются в точке O
и делятся ею пополам.