10970. На стороне AC
треугольника ABC
находится точка B_{1}
. На сторонах AB
и BC
постройте соответственно точки C_{1}
и A_{1}
так, чтобы площади треугольников AB_{1}C_{1}
, BA_{1}C_{1}
и CA_{1}B_{1}
были равны.
Решение. На стороне BC
построим такую точку M
, что B_{1}M\parallel AB
, на стороне AB
построим такую точку C_{1}
, что MC_{1}\parallel AC
, на стороне AC
построим такую точку N
, что C_{1}N\parallel BC
, на стороне BC
построим такую точку A_{1}
, что NA_{1}\parallel AB
, на стороне AB
построим такую точку K
, что A_{1}K\parallel AC
. Тогда AB_{1}=C_{1}M=CN
, поэтому CB_{1}=AN=A_{1}K
. Значит, CB_{1}KA_{1}
— тоже параллелограмм.
Докажем, что площади треугольников AC_{1}B_{1}
, BA_{1}C_{1}
и CB_{1}A_{1}
равны. Площади параллелограммов AC_{1}MB_{1}
и BA_{1}NC_{1}
равны, так как каждый из них равновелик параллелограмму C_{1}MCN
. Значит, треугольники AC_{1}B_{1}
и BA_{1}C_{1}
, занимая половину площадей равновеликих параллелограммов AC_{1}MB_{1}
и BA_{1}NC_{1}
, равновелики. Аналогично проверяется равновеликость других пар треугольников.
Примечание. См. также статью А.Блинкова «Равновеликость от Произволова», Квант, 2020, N9, с.29-33.
Автор: Произволов В. В.
Источник: Журнал «Квант». — 1998, № 6, с. 24
Источник: Летний турнир им. А. П. Савина «Математика 6—8». — 1998, № 14