10971. Четырёхугольник ABCD
обладает тем свойством, что внутри него существует точка M
, для которой AMB
и CMD
— равнобедренные треугольники с углом 120^{\circ}
при вершине M
. Докажите, что тогда существует точка N
, для которой BNC
и DNA
— равносторонние треугольники.
Решение. Треугольники AMC
и BMD
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, диагонали AC
и BD
равны. Пусть они пересекаются в точке O
. Тогда BOC
— внешний угол треугольника AOB
. Он равен сумме углов BAO
и ABO
, которая равна сумме углов BAM
и ABM
, т. е. 60^{\circ}
. (Можно по-другому: при повороте на 120^{\circ}
вокруг точки M
вершина A
перейдёт в B
, а вершина C
— в D
, поэтому прямая AC
перейдёт в прямую BD
, следовательно, угол между этими прямыми равен 60^{\circ}
.)
Проведём серединные перпендикуляры к сторонам AD
и BC
. Точка их пересечения и будет искомой точкой N
. Действительно, треугольники ANC
и DNB
равны по трём сторонам и получаются один из другого поворотом на 60^{\circ}
вокруг точки N
(так как угол между прямыми AC
и BD
равен 60^{\circ}
). Значит, \angle BNC=\angle AND=60^{\circ}
. Следовательно, равнобедренные треугольники AND
и BNC
— равносторонние.