10975. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
отметили точки M
и N
так, что BM=BC
и AN=AC
(см. рис.). Затем на катетах BC
и AC
отметили соответственно точки P
и Q
так, что BP=BN
и AQ=AM
. Докажите, что точки C
, Q
, M
, N
, P
лежат на одной окружности.
Решение. Треугольники BPN
и BCM
равнобедренные с общим углом при вершине B
, поэтому, равны их углы при основаниях PN
и CM
. Значит, CPMN
— равнобедренная трапеция. Следовательно, около неё можно описать окружность, т. е. точки C
, P
, N
и M
лежат на одной окружности.
Аналогично докажем, что на одной окружности лежат точки C
, N
, M
и Q
, а так как через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, то эти окружности совпадают. Следовательно, точки C
, Q
, M
, N
, P
лежат на одной окружности.
Автор: Произволов В. В.
Источник: Журнал «Квант». — 2000, № 2, с. 21, задача 1
Источник: Летний турнир им. А. П. Савина «Математика 6—8». — 2000, личная олимпиада, задача 1