10979. Угол A
ромба ABCD
равен 60^{\circ}
. Прямая, проходящая через точку C
, пересекает прямые AB
и AD
в точках M
и N
соответственно. Докажите, что угол между прямыми MD
и NB
равен 60^{\circ}
.
Решение. Заметим, что треугольник ABD
равносторонний. Из подобия треугольников BMC
и AMN
следует, что \frac{MB}{AB}=\frac{MC}{CN}
. Из подобия треугольников MAN
и CDN
следует, что \frac{MC}{CN}=\frac{AD}{DN}
. Таким образом,
\frac{MB}{BD}=\frac{MB}{AB}=\frac{MC}{CN}=\frac{AD}{DN}=\frac{BD}{DN}.
Треугольники MBD
и BDN
имеют равные углы (\angle ABD=\angle BDA=\angle BDN
) и прилегающие к ним пропорциональные стороны. Следовательно, эти треугольники подобны. Углы между соответственными сторонами подобных треугольников равны, а так как сторона DM
треугольника MBD
соответствует стороне NB
треугольника BDN
, то искомый угол между прямыми MD
и NB
равен углу между BD
и DN
, т. е. 60^{\circ}
.
Примечание. Другое окончание решения. Пусть S
— точка пересечения прямых DM
и BN
. Обозначим \angle BND=\angle BDM=\alpha
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle MBN=\angle ABN=\angle BAD-\angle BND=60^{\circ}-\alpha,
\angle BMS=\angle DBM+\angle BDM=60^{\circ}+\alpha.
Следовательно,
\angle BSD=180^{\circ}-\angle MBN-\angle BMS=180^{\circ}-(60^{\circ}-\alpha)-(60^{\circ}+\alpha)=60^{\circ}.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Летний турнир им. А. П. Савина «Математика 6—8». — 2001, задача 3
Источник: Журнал «Квант». — 2001, № 5, с. 28, задача 3; 2002, № 2, с. 55