10980. Точки O
и I
— центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
, M
— середина дуги AC
описанной окружности (не содержащей точки B
). Докажите, что \angle ABC=60^{\circ}
тогда и только тогда, когда MI=MO
.
Решение. Если \angle ABC=60^{\circ}
, то и \angle AOM=60^{\circ}
. Значит, треугольник AOM
правильный, MO=MA
, а так как MA=MI
(см. задачу 788), то MO=MI
.
Обратно, если MO=MI
, то MA=MI=MO=OA
, значит, треугольник AOM
правильный. Следовательно,
\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC=\angle AOM=60^{\circ}.