10984. Точка O
— центр вписанной в треугольник ABC
окружности. Прямая BO
вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P
.
а) Докажите, что OP=CP
.
б) Найдите радиус описанной около треугольника ABC
окружности, если расстояние от точки P
до прямой AC
равно 18, \angle ABC=60^{\circ}
.
Ответ. 36
.
Решение. а) Обозначим углы при вершинах B
и C
треугольника ABC
через \beta
и \gamma
соответственно. Поскольку O
— точка пересечения биссектрис треугольника,
\angle BCO=\angle ACO=\frac{\gamma}{2},~\angle ACP=\angle ABP=\angle CBP=\frac{\beta}{2}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle POC=\angle BCO+\angle CBP=\frac{\gamma}{2}+\frac{\beta}{2},
а так как
\angle PCO=\angle ACO+\angle ACP=\frac{\gamma}{2}+\frac{\beta}{2},
то \angle POC=\angle PCO
. Значит, треугольник POC
равнобедренный, OP=CP
.
б) Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, OH
— высота треугольника ABC
. Этот треугольник равнобедренный, PA=PC
, а так как четырёхугольник ABCP
вписанный, то
\angle APC=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
Тогда \angle PCH=30^{\circ}
, а CP=2PH=36
.
По теореме синусов
R=\frac{CP}{2\sin\angle CBP}=\frac{36}{2\sin30^{\circ}}=36.
Источник: ЕГЭ. — 2019, 29 мая, задача 16