10987. Окружность проходит через вершины A
и B
треугольника ABC
, касается стороны BC
в точке B
и вторично пересекает сторону AC
в точке E
. Другая окружность проходит через вершины A
и C
, касается стороны BC
в точке C
и вторично пересекает сторону AB
в точке D
. Отрезки BE
и CD
пересекаются в точке F
. Докажите, что треугольник BCF
равнобедренный.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle CBF=\angle CBE=\angle BAE=\angle CAB,~
\angle BCF=\angle BCD=\angle CAD=\angle CAB.
Значит, \angle CBF=\angle BCF
. Следовательно, треугольник BCF
равнобедренный, AC=AB
.