10987. Окружность проходит через вершины
A
и
B
треугольника
ABC
, касается стороны
BC
в точке
B
и вторично пересекает сторону
AC
в точке
E
. Другая окружность проходит через вершины
A
и
C
, касается стороны
BC
в точке
C
и вторично пересекает сторону
AB
в точке
D
. Отрезки
BE
и
CD
пересекаются в точке
F
. Докажите, что треугольник
BCF
равнобедренный.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle CBF=\angle CBE=\angle BAE=\angle CAB,

\angle BCF=\angle BCD=\angle CAD=\angle CAB.

Значит,
\angle CBF=\angle BCF
. Следовательно, треугольник
BCF
равнобедренный,
AC=AB
.
Источник: Журнал «Математика в школе». — 2012, № 7, с. 74, задача 5237