10988. В треугольнике ABC
угол A
вдвое больше угла B
, CD
— биссектриса треугольника. Докажите, что BC=AC+AD
.
Решение. Против большей стороны треугольника лежит больший угол, поэтому AC\lt BC
. На луче CB
отложим отрезок CA_{1}=AC
. Тогда точка A_{1}
лежит между B
и C
.
Треугольник CDA_{1}
равен треугольнику CDA
по двум сторонам и углу между ними, поэтому A_{1}D=AD
.
Обозначим \angle ABC=\alpha
. Тогда \angle BAC=2\alpha
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle A_{1}DB=2\alpha-\alpha=\alpha=\angle DBA_{1}.
Значит, треугольник BDA_{1}
равнобедренный, BA_{1}=DA_{1}
. Следовательно,
BC=BA_{1}+CA_{1}=DA_{1}+AC=AD+AC.
Источник: Журнал «Математика в школе». — 2012, № 7, с. 74, задача 5235