10998. Расстояния от точки P
, лежащей внутри треугольника ABC
, до вершин A
, B
и C
равны x
, y
и z
соответственно. Из точки P
опущены перпендикуляры PD
, PE
и PF
на стороны BC
, AC
и AB
соответственно. Площадь треугольника DEF
равны S
. Докажите, что сумма
x^{2}\sin2\angle A+y^{2}\sin2\angle B+z^{2}\sin2\angle C+8S
постоянна (не зависит от выбора точки P
).
Решение. Обозначим углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Пусть треугольник ABC
остроугольный.
Точки E
и F
лежат на окружности с диаметром AP=x
. Пусть L
— середина AP
(центр окружности). Опустим перпендикуляр LG
на хорду FE
. Тогда G
— середина EF
, LG
— биссектриса центрального угла ELF
,
\angle FLG=\angle EAF=\alpha,~EF=2FG=2\cdot\frac{x}{2}\cdot\sin\alpha=x\sin\alpha,
LG=FL\cos\alpha=\frac{x}{2}\cos\alpha.
Значит,
x^{2}\sin2\alpha=2x\sin\alpha\cdot x\cos\alpha=2EF\cdot2LG=8\cdot\frac{1}{2}EF\cdot LG=8\cdot S_{\triangle ELF}.
Аналогично, если M
и N
— середины отрезков BP
и CP
соответственно, то
y^{2}\sin2\beta=8\cdot S_{\triangle DMF},~z^{2}\sin2\gamma=8\cdot S_{\triangle DNE}.
Тогда
x^{2}\sin2\alpha+y^{2}\sin2\beta+z^{2}\sin2\gamma+8S=S_{DNELFM}.
Поскольку FL
— медиана треугольника APF
, получаем
S_{\triangle LPF}=\frac{1}{2}S_{\triangle APF}~\mbox{и}~S_{\triangle LPE}=\frac{1}{2}S_{\triangle APE},
поэтому S_{PFLE}=\frac{1}{2}S_{PFAE}
. Аналогично,
S_{PDMF}=\frac{1}{2}S_{PDBF}~\mbox{и}~S_{PEND}=\frac{1}{2}S_{PECD}.
Значит,
S_{DNELFM}=S_{PFLE}+S_{PDMF}+S_{PEND}=\frac{1}{2}S_{PFAF}+\frac{1}{2}S_{PDBF}+\frac{1}{2}S_{PECD}=
=\frac{1}{2}(S_{PEAF}+S_{PDBF}+S_{PECD})=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}.
Следовательно,
x^{2}\sin2\alpha+y^{2}\sin2\beta+z^{2}\sin2\gamma+8S=S_{DNELFM}=4S_{\triangle ABC}.
Отсюда получаем утверждение задачи.
Если треугольник ABC
неостроугольный, например, \alpha\geqslant90^{\circ}
, то x\cos\alpha\leqslant0
, В то же время, площадь треугольника PFLE
в соответствующей сумме берётся со знаком «-
» или равна 0. В итоге получим тот же результат.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1987, № 2, задача 1076 (1985, с. 249), с. 62