10999. В треугольнике ABC
центры вписанной и описанной окружностей и вершина A
лежат на одной прямой. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, если BC=12
, а радиус вписанной окружности равен 3.
Ответ. \frac{5}{4}
.
Решение. Центр I
вписанной окружности лежит на биссектрисе угла A
, значит, если O
— центр описанной окружности, то \angle BAO=\angle CAO
, а так как OB=OC=OA
как радиусы одной окружности, то равнобедренные треугольники AOB
и AOC
равны. Значит, AB=AC
. Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный.
Вписанная окружность касается основания BC
в его середине H
, поэтому BH=6
. Обозначим \angle ABC=\angle ACB=\beta
. Тогда \angle HBI=\frac{\beta}{2}
, так как BI
— биссектриса угла ABH
. Из прямоугольного треугольника HBI
находим, что
\tg\frac{\beta}{2}=\frac{IH}{BH}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
Тогда
\cos\beta=\frac{1-\tg^{2}\frac{\beta}{2}}{1+\tg^{2}\frac{\beta}{2}}=\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{3}{5},~\sin\beta=\frac{4}{5}.
Из прямоугольного треугольника AHB
находим, что
AB=\frac{BH}{\cos\beta}=\frac{6}{\frac{3}{5}}=10.
Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC
равен R
. По теореме синусов
R=\frac{AB}{2\sin\beta}=\frac{10}{2\cdot\frac{4}{5}}=\frac{25}{4}.
Пусть вписанная окружность треугольника касается боковой стороны AB
в точке D
. Тогда
\angle AID=\angle ABH=\beta,~AI=\frac{ID}{\cos\angle AID}=\frac{ID}{\cos\beta}=\frac{3}{\frac{3}{5}}=5.
Следовательно,
OI=|AI-OA|=|AI-R|=|5-\frac{25}{4}|=\frac{5}{4}.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2017, филиал, вариант Ф31, задача 6