11004. На стороне AC
равнобедренного треугольника ABC
с основанием BC
взята точка D
. На меньшей дуге CD
окружности, описанной около треугольника BCD
, выбрана точка K
. Луч CK
пересекает прямую, параллельную BC
и проходящую через A
, в точке T
. Пусть M
— середина отрезка DT
. Докажите, что \angle AKT=\angle CAM
.
Решение. На продолжении отрезка AM
за точку M
отложим отрезок MN=AM
. Тогда ADNT
— параллелограмм. Поскольку \angle ANT=\angle CAM
, для решения задачи достаточно показать, что \angle AKT=\angle ANT
, или, что точки A
, T
, N
и K
лежат на одной окружности.
Пусть прямая ND
пересекает сторону AB
в точке S
. Тогда DS\parallel BC
, и BSDC
— равнобокая трапеция. Докажем, что точки K
и N
лежат на окружности \omega
, описанной около треугольника AST
. Действительно,
\angle ATN=\angle ADN=180^{\circ}-\angle SDA=180^{\circ}-\angle ASD,
значит, точка N
лежит на окружности \omega
. Из окружности, описанной около трапеции BSDC
, получаем, что
\angle SKT=\angle SBC=180^{\circ}-\angle SAT,
поэтому точка K
лежит на окружности \omega
. Что и требовалось доказать.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2018-2019, XLV, заключительный тур, № 6, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2019, № 7, с. 41